Trabajo Práctico Nº 2

Números cuadrados y números triangulares. Sucesiones

http://tube.geogebra.org/student/b97249#material/97248

Guía teórica - Unidad 1 Análisis Matemático

Guía teórica - Unidad 1

Números Reales

Conjuntos numéricos

Utilizaremos como es común, la siguiente nomenclatura para designar a los conjuntos numéricos: ℕ para el conjunto de los números naturales, ℤ para el de los enteros, ℚ para el de racionales y ℝ para el conjunto de los números reales.

file:///C:/Users/laura%20y%20sergio/Downloads/2.jpg

Axiomas y propiedades:

Axiomas de cuerpo conmutativo:

Suponemos la existencia de un conjunto R, cuyos elementos se denominan números reales. Consideramos, además, que se puede definir en R dos operaciones a las cuales denominamos adición y multiplicación, simbolizadas, respectivamente, " + " y " . ", que cumplen los siguientes axiomas:

A₁. Ley del cierre: La suma de dos números reales es un número real y el producto de dos números reales es un número real.

O sea, ∀a  ∀b :  (a ∈  R ∧  b ∈ R  ⇒ a + b ∈ R  ∧ a  . b ∈ R)

A₂. Prop. conmutativa:

∀ a∈ R  ∀ b  ∈  R: (a +b)  = b  +a   ∧ a . b = b . a

A₃. Prop. asociativa:

∀  a ∈ R  ∀ b ∈ R  ∀ c ∈ R :[(a +b ) +c  = a +(b   + c)  ∧ (a  .b)  .c  = a . (b  .c)]

A₄. Existencia de elemento neutro:

∃0 ∈ R/∀ a  ∈ R : a + 0 = a

∃1 ∈R  ∕ ∀ a  ∈ R: a. 1 = a

A₅. Existencia de elemento simétrico:

∀ a∈ R: ∃ (−a)  ∈ R/ a+ (− a) = 0

∀ a∈ R− {0}: ∃ a⁻¹ ∈ R ∕ a . a ⁻¹ = 1

A₆. Prop distributiva:

∀ a ∈R   ∀ b ∈R   ∀ c ∈R  : a . (b +c)   =  a . b  +a . c

Axiomas de orden

Suponemos que existe un subconjunto no vacío de R, cuyos elementos se llaman números positivos y al que designaremos R⁺.

Se cumplen las siguientes propiedades:

O₁. Tricotomía:

∀  a ∈ R : (a  ∈R  ⇒  a= 0 ∨  a ∈ R ⁺ ∨ −a  ∈ R ⁺)

O₂. Ley de cierre: La suma de dos números reales positivos es un número real positivo y el producto también.

O sea, ∀  a ∀b : ( a  ∈R  ⁺  ∧ b ∈R  ⁺ ⇒ a + b ∈ R ⁺ ∧ a .b  ∈ R ⁺

Los dos axiomas anteriores permiten ordenar los elementos de R. Para ello, puede introducirse la siguiente definición de "mayor ", simbolizada con " > ":

a>  b⇔ a  + (−b) ∈ R ⁺

Se define luego la relación de "menor ", simbolizada con " < ":

a⇔  b>a

También puede definirse en R, la relación de "mayor o igual", simbolizada" > ", de la siguiente manera:

a≥b  ⇔  a>b  ∨  a=b

Definiciones de cotas y extremos de conjuntos ordenados:

Cota superior: k es cota superior de un conjunto C de números reales si y sólo si k es un número real que no es superados por ningún elemento del conjunto.

O sea, k es cota superior de C ⇔ ∀ x :(x ∈ C⇒ x ≤ k )

Extremo superior o supremo: s es extremo superior de un conjunto C de números reales si y sólo si, s es un cota superior de C y si k es cualquier cota superior de C, entonces  s ≤ k.

Cota inferior: h es cota inferior de un conjunto C de números reales si y sólo si h es un número real que no supera a ningún elemento del conjunto.

O sea, h es cota inferior de C ⇔ ∀x  :( x∈ C⇒ x≥ ℎ)

Extremo inferior o ínfimo: i es extremo inferior de un conjunto C de números reales si y sólo si, i es un cota inferior de C y si h es cualquier cota inferior de C, entonces i ≥ ℎ

Un conjunto está acotado si y sólo si admite cota superior y cota inferior.

Axioma de continuidad:

Si un conjunto no vacío de números reales tiene cota superior, entonces tiene extremo superior.

Valor absoluto:

Definición: Se llama valor absoluto o módulo de un número real, al mismo número si es positivo o cero, y a su opuesto si es negativo.

Es decir:

|a|= {   a si  a ≥0}

          { -a si  a< 0}

Bibliografía: Rabuffetti, Hebe T. Introducción al Análisis Matemático I. 3ra Ed. El Ateneo. 1987